轴流式叶轮端铣加工刀具轨迹生成研究

    1.2 自由曲面叶片和轮毂面的求交算法

    自由曲面叶片造型完成后，重要的是进行自由曲面叶片和轮毂面的求交计算。在叶片的设计过程中，为了保证叶片曲面形状的完整，设计时给出的表示曲面型值点的截面数据是冗余的，部分处在轮毂之内或轮缘之外，如图2所示。这一部分数据无论在计算机中显示还是数控加工都是无用的，甚至会干扰正常的运算。因此完成叶片曲面的造型后，必须进行曲面求交。

    曲面求交技术在几何造型中的布尔运算、图形显示和数控加工中刀具轨迹的生成中都有广泛的应用，这项技术也一直是计算机辅助设计(Computer Aided Design，CAD)／计算机辅助制造(Computer Aided Manufacturing，CAM)技术研究的焦点，该技术可以分为三类：代数／代数曲面求交、代数／参数曲面求交、参数／参数曲面求交。因为叶轮的轮毂面一般为二次曲面，叶片一般为用参数表示的自由曲面，所以本文的叶轮适合使用代数／参数曲面求交的方法。

    本文求交运算的基本思路是：把进行求交运算的两个对象坐标变换到标准坐标系下(因为下面介绍的轮毂面的参数方程是在标准坐标系下描述的)进行求交运算，再把求得的交点反向变换回去，作为实际的交点。

    如图2所示，该整体叶轮的轮毂面可以抽象成一圆台，也可以看成圆锥曲面的一部分，为二次曲面，在标准举标系下用参数方程的形式描述为

    式中c=Rh/（R-r）。其中：R为圆台大圆半径，h为圆台对应圆锥的高，r为圆台的小圆半径。

    也可以用矩阵的形式表示为

    式中：A=1/R²，E=1/R²，H=-（R-r）²/R²r²，B=C=D=E=I=J=0。令X=[x y z 1]，Q为系数矩阵，则式(2)可以简洁地将上述二次曲面表示为

    如前所述，本文的求交对象之一是参数方程表示的自由曲面叶片，其参数方程使用B样条曲线表示。B样条曲线有一个很突出的优点，就是有很强的凸包性，B样条曲线一定处于控制顶点构成的凸包内。利用这一特性，可以构造B样条曲线的包容盒。首先确定哪个包容盒和轮毂面相交，进而确定包容盒包容的那段样条曲线和轮毂面的实际交点。这样的求交算法兼顾了求交的效率和准确性。

    包容盒的构造原理如图4所示，顺次连接志k+1(k为B样条曲线的次数)个控制顶点构成一个包容盒。可以看出，包容盒的每条边是一个空间的有向线段，如果其中某一边和轮毂面相交，则整个包容盒所决定的B样条曲线有可能和轮毂面相交。虽然包容盒和轮毂面相交并不能一定判定样条曲线和轮毂面相交，但是对于本叶轮来说，如果包容盒不与轮毂面相交，则样条曲线一定不同轮毂面相交，这时可以转而判断k+1个控制顶点所决定的包容盒是否和轮毂面相交。可见，求交点首先要判断包容盒的每条边(空间有向线段)是否和二次曲面的轮毂面相交。

    图4 包容盒求交原理图

    令空间有向线段的方程表示为

    计算有向线段和二次曲面相交时，可以将式(4)带人式(3)，得

    这是一个关于参数t的二次方程，如果式(5)存在两个实根，则直线将与二次曲面相交两次；如果具有相同的两个实根，则直线与二次曲面相接触，而不贯穿二次曲面；如果根是虚根，则直线和二次曲面不相交。