结构拓扑优化综述

0 引言

    结构优化设计旨在通过对结构的尺寸、形状及拓扑等参数进行合理的调整，使得调整后的结构能够在满足强度、刚度、稳定性、可制造性以及其它一种或多种设计要求的前提下，指定的目标性能达到最优，比如重量最轻、造价最低等。近三十年来，随着优化算法和计算机科学的迅速发展，结构优化，特别是结构拓扑优化方法的研究和应用得到了巨大的发展。结构优化技术正以其高效、可靠、系统的结构设计策略改变着传统的工业设计流程。如图1中所示的空客A380机翼前缘的优化设计流程，首先基于结构最小化柔顺性的拓扑优化方法得到最佳的概念性设计方案；然后，依据工程经验和实际的制造工艺对拓扑优化概念设计进行特征提取，并以此为初始设计，考虑结构的稳定性和应力约束分别使用形状优化和尺寸优化方法来得到精细化的设计方案。

图1 空客A380机翼前缘的优化设计流程

1 结构优化方法介绍

    材料的有效利用一直是设计师追求的目标，也是结构优化研究领域不变的话题。通常来说，结构优化问题可分为以下三类：尺寸优化、形状优化和拓扑优化。

    作为最早期被提出的结构优化问题，结构的几何形状和拓扑形式是固定不变的，优化设计变量通常选取结构的主要尺寸参数，比如杆件的横截面积，板或壳体结构的厚度。这类问题在结构优化领域被划分为结构尺寸优化。

    后来，随着结构优化研究的深入，形状优化受到关注，并在结构优化设计中占有重要的地位。形状优化允许结构的形状发生一定的变化，其优化设计变量是结构几何边界，通常选取为结构边界形状的关键控制参数，比如杆系结构的节点坐标，连续体结构内外边界形状参数。和尺寸优化方法一样，形状优化仍然不改变结构的拓扑形式，但是与尺寸优化不同的是，形状优化的主要难点在于如何根据优化的需要建立结构边界的描述方法、优化过程中对结构有限元网格的调整以及形状灵敏度分析。

    为了更加有效的利用材料，弥补尺寸优化、形状优化无法改变结构拓扑形式的局限性，结构拓扑的优化设计被提了出来。结构拓扑优化设计问题需要确定结构的连通性。对于离散的杆系结构，如桁架、刚架和网架，确定结构节点间杆件的连接状态，对于连续体结构，如二维平面结构，确定结构内孔洞数量，即，结构是单连通还是多连通。将连续体结构拓扑优化设计问题转化为寻求材料在设计域内的最优分布问题，是连续体结构拓扑优化研究中的一个重大突破。在按照这个思想建立的连续体结构拓扑优化的数学模型中，以设计域（拓扑未预先指定）中每一点材料特征（有／无／材料微结构参数）为设计变量，采用优化算法，寻求材料在设计域内最优的分布，满足结构设计的目标和约束。材料在设计域的有或无就确定了最优的结构拓扑形式，同时也给出了大致的结构形状和尺寸特征。

（a）尺寸优化 （b）形状优化 （c）拓扑优化

图2 结构优化三类问题

    历经数十年的不懈研究，结构拓扑优化方法相关的研究工作不断的深入发展并被广泛应用到结构设计的各个领域。结构拓扑优化的研究和应用可以分为离散结构的拓扑优化和连续体结构拓扑优化。本文将重点介绍：桁架结构拓扑优化、连续体结构拓扑优化以及结构拓扑优化问题的常用求解方法。

2 结构拓扑优化

2.1 桁架结构拓扑优化

    结构拓扑优化起源于桁架结构优化设计，1854年，Maxwell首次提出了应力约束下桁架最小重量的设计问题并给出了相关的基本拓扑分析。1904年，Michell发展了考虑杆件具有相等的拉一压应力约束，单一载荷作用下最轻的桁架结构设计所满足的必要条件，被称为Michell准则，满足该准则的一类桁架结构设计也被称之为Michell桁架。

图3 Michell桁架