面向组合自由曲面过渡的数控技术

　　在实际的产品设计中经常用到组合曲面。所谓组合曲面，就是将不同的曲面片以一定的方式连接起来组成的曲面。组合曲面虽能方便地表达复杂的形状，但却带来另一个问题，这就是组合曲面中曲面间的过渡问题。若想让单张曲面间满足特定的条件直接连接，这将是极端困难的，甚至是不可能的。于是。人们采用在组合曲面间加入过渡面来处理曲面间的过渡问题。由于过渡面在产品的性能、外观、加工等方面的重要作用，因此这方面的研究较多。虽然目前对曲面过渡问题研究较多，且算法日臻完善，但它们都是仅仅从数学的角度对过渡问题进行研究，而没有考虑加工的要求，这样建立的过渡面可能无法加工出来或者加工时必须增加换刀次数而使加工的效率降低。为此，本文拟从数控技术 加工的角度对曲面过渡技术进行研究。
 
1. 自由曲面光滑过渡理论

　　用曲面对组合曲面进行连接过渡时，过渡面与组合曲面间必需满足一定的光滑度(也称光顺性)要求。目前，有两种不同的关于连接光顺性的度量：一种是传统的参数连续性，另一种为几何连续性。参数连续性的定义是：当且仅当两曲面P(s, t)与Q(u, v)沿它们的正则公共连接线P(g)=Q(g)处处具有直到n阶的偏导矢，则称它们沿该连接线具有n阶参数连续性或是Cn的连续性。而几何连续性的定义是：两曲面 P(s, t)与Q(u, v)沿它们的正则公共连接线 P(g)=Q(g)具有n阶几何连续性或是Gn的连续性。当且仅当其中是一可被重新参数化以使得它们沿该公共连接线具有n个参数连续性或是Cn的连续性。人们在实践中逐步认识到，传统的参数连续性在度量非参数形式的曲面的光顺性时是恰当的，但用于参数形式的曲面的光顺性时则是对光顺的不必要的过度限制，因此，它不能确切度量参数曲面的光滑度。几何连续性是对参数连续性必要的松驰，也是对参数化的必要松弛，但决不是光滑度的松驰，这样，它可以为形状定义和形状控制提供额外的自由度。因此，几何连续性是对参数曲面光顺性比较理想的度量。考虑到现在参数曲面已成为自由曲面的标准表达形式，本文也采用几何连续性处理过渡面与组合曲面之间连接的光滑性问题。而且综合考虑精度和效益原则，本文仅采用G1及一阶几何连续性。该连续性可表达为：两曲面P(s, t)与Q(u, v)沿它们的正则公共连接线P(g)=Q(g)具有一阶几何连续性或是G1的连续性"当且仅当它们沿该公共连接线处处具有公共的切平面或公共的曲面法线。

2. 面向数控加工的曲面过渡技术

　　如前所述，目前几何造型系统中的曲面过渡仅从数学的角度而没有考虑到数控技术 加工的要求。本文提出的面向数控技术 加工的组合自由曲面的过渡技术不仅满足数学上的光顺性要求，更重要的是它考虑到数控技术 加工的特点。该曲面过渡技术主要包括以下几步。

　　组合曲面的离散并求出组合曲面的交线

　　对自由曲面的离散目前的研究较多，其算法也比较成熟，此处不做深入的分析。本文采用三角形离散化方法对组合曲面进行离散，该方法的具体实现请参阅相关文献。组合曲面经过离散后，求解它们的交线(用微线段近似表示)也是很容易的，此处也不再赘述。

　　用截平面截组合曲面并得出截交线

　　目前的组合曲面数控技术加工大体上有运算符法、区域加工法和截面法三种。其中截面法是将刀位轨迹规划在一组相互平行的平面上，且通常是一组垂直于XY面的平面。该方法是组合曲面加工中最常用的方法，它能够将组合曲面视为一个整体进行加工，刀具轨迹跨越整个组合曲面，加工效率较高。故本文也针对该加工方法提出组合曲面的过渡方法。当采用垂直于XY面的平面截已经过离散的组合曲面时，同样能方便地得出用微线段表示的截交线。

　　求出组合曲面在截交线处的曲率

　　当求出组合曲面与平面的交线后，即可求出截平面与三角形片各边交点(各微线段的端点)处的曲面的曲率。其求解过程为
 
　　Kn= f2 = Ldu²+2Mdudv+Ndv²
　　f1 Edu²+2Fdudv+Gdv²
　　(1)
　　式中 Kn──曲面的法曲率
　　f1──曲面第一不变量, E=Pu·Pu;F=Pu·Pv;G=Pv·Pv
　　f2──曲面第二不变量, L=n·Puu; M=n·Puv; N=n·Pvv
 
　　得出法曲率之后，通过求解其极值，即可求出该点最大 曲率。求解极值公式为：
　　KnE-L KnF-M
　　KnF-M KnG-N
　　(2)